Предел последовательности. Предел функции одной переменной. Замечательные пределы.
Предел последовательности. Предел функции одной переменной. Замечательные пределы.
Меню

Предел последовательности. Предел функции одной переменной. Замечательные пределы.

Решение сложных задач на нахождение предела (без применения правила Лопиталя и формулы Тейлора).

Свойства пределов:
{01} $\lim_{n\to b} a^{f(x)} = a^{\lim_{n\to b} f(x)}$ при a > 0;
{04} $\lim_{x\to a} C = C = const$
{09} $\lim_{x\to a} {\left({f(x)}+{f(y)}\right)}$ $=$ $\lim_{x\to a} {f(x)} + \lim_{x\to a} {f(y)}$
{10} $\lim_{x\to a} C {f(x)}= C \lim_{x\to a} {f(x)}$
Замечательные пределы:
{02} $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ Первый замечательный предел
{03} $\lim_{x\to\infty} \left({1}+\frac{1}{x}\right)^x=e$ или $\lim_{x\to 0} \left({1}+{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e$ Второй замечательный предел
{05} $\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x}= \ln a$
{12} $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}= 1$
Свойства логарифмов:
{06} $e^{\ln x}=x$
{07} $\ln {x^p}=p\ln x$
{08} $\ln \frac{x}{y} =\ln x -\ln y$
{11} $\ln {x}{y} =\ln x +\ln y$
Пример №1: $\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)^\frac{1}{x}$ = применяя: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, то = $\lim_{x\to 0} \left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^{-1\frac{1}{x}}$ = $\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{\cos x}+\frac{x*\sin x}{\cos x*x}\right)^{-1\frac{1}{x}}$ = применяя {02} = $\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{\cos x}+\frac{x}{\cos x}\right)^{-1\frac{1}{x}}$ = поскольку: $\cos 0=1$, то = $\lim_{x\to 0} \left({1}+{x}\right)^{-1\frac{1}{x}}$ = $\lim_{x\to 0} \left({1}+{x}\right)^{\left(\frac{1}{x}\right)^{-1}}$ = применяя {03} = $\lim_{x\to 0} e^{-1}$ = применяя {04} =$\frac{1}{e}$
Пример №2: $\lim_{x\to 3} \frac{x^3-3^x}{x-3}$ = пусть y=x-3 == x=y+3, тогда = $\lim_{y\to o} \frac{(y+3)^3-3^{(y+3)}}{y+3-3}$ = $\lim_{y\to o} \frac{(y+3)^3-3^y*3^3}{y}$ = $\lim_{y\to o} {\left(\frac{(y+3)^3}{y}-\frac{3^y*27+27-27}{y}\right)}$ = применяя $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ = $\lim_{y\to o}$ ${\left(\frac{y^3+3y^23+3y3^2+3^3}{y}-\frac{27}{y}-\frac{27(3^y-1}{y}\right)}$ = применяя {05} = $\lim_{y\to o} {\left({y^2+9y+27}-{27\ln 3}\right)}$ = $27-{27\ln 3}$
Пример №3: $\lim_{x\to 0} \frac{2^x-3^x}{x}$ = {06}&{07} ⇒ $\lim_{x\to 0} \frac{e^{xln2}-e^{xln3}}{x}$ = $\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln2}-1-(e^{x\ln3}-1)}{x}$ = $ln2×\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln2}-1}{x\ln2}$ $-$ $ln3×\lim_{x\to 0}\frac{(e^{x\ln3}-1)}{x\ln3}$ = {09} ⇒$\ln2-\ln3$ = $\ln\frac{2}{3}$
Пример №4: $\lim_{x\to 0} {\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = $\lim_{x\to 0} \left(\frac{a^xb^x\left(\frac{1}{a^x}+\frac{1}{b^x}\right)}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$ = $\lim_{x\to 0} ab{\left(\frac{1}{2a^x}+\frac{1}{2b^x}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = {10}⇒ $ab\lim_{x\to 0} {\left(\frac{a^{-x}}{2}+\frac{b^{-x}}{2}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = $ab\lim_{x\to 0} {\left({\frac{-x}{2}}{\left(\frac{a^{-x}}{-x}+\frac{b^{-x}}{-x}\right)}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = $ab\lim_{x\to 0}$ ${\left({\frac{-x}{2}}{\left(\frac{a^{-x}+1-1}{-x}+\frac{b^{-x}+1-1}{-x}\right)}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = $ab\lim_{x\to 0}$ ${\left({\frac{-x}{2}}{\left(\frac{a^{-x}+1-1}{-x}+\frac{b^{-x}+1-1}{-x}\right)}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = $ab\lim_{x\to 0}$ ${\left({\frac{-x}{2}}{\left(\frac{a^{-x}-1}{-x}+\frac{1}{-x}+\frac{b^{-x}-1}{-x}+\frac{1}{-x}\right)}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = {5}⇒ $ab\lim_{x\to 0}$ ${\left({\frac{-x}{2}}{\left(\ln{a}+\frac{1}{-x}+\ln{b}+\frac{1}{-x}\right)}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = $ab\lim_{x\to 0} {\left(\frac{-x\ln{a}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{-x\ln{b}}{2}+\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = $ab\lim_{x\to 0}$ ${\left(1-\frac{x}{2}{\left(\ln{a}+\ln{b}\right)}\right)}^{\frac{1}{x}}$ = {11}⇒ $ab\lim_{x\to 0} {\left(1-\frac{x}{2}{\left(\ln{ab}\right)}\right)}^{\frac{1}{x}}$ ⇒ пусть $y = -\frac{x\ln{ab}}{2}$ и $\frac{1}{x}=-\frac{\ln{ab}}{2y}={\frac{1}{y}}^{-\frac{\ln{ab}}{2}}$ , тогда $ab\lim_{x\to 0} {\left({\left(1+y\right)}^{\frac{1}{y}}\right)}^{-\frac{\ln{ab}}{2}}$ = {03}⇒ $ab\lim_{x\to 0} e^{-\frac{\ln{ab}}{2}}$ = {04}⇒ $ab {\left(e^{\ln{ab}}\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = {06}⇒ $ab \frac{1}{\sqrt{ab}}$ = $\sqrt{ab}$